Solitoni

Nelinearnosti u fizici i princip superpozicije

Prije nego što se posvetimo analitičkom rješavanju Korteweg – de Vriesove (u daljem tekstu skraćeno KdV) jednadžbe, zastanimo čas na pojmu nelinearnosti općenito. Nelinearne pojave su još uvijek slabo istražene u fizici. U nastavi fizike su tako malo zastupljene da se tokom čitavog školovanja (uključujući i visoko) praktično i ne susretne sa ičim što odstupa od linearnosti i linearnog principa superpozicije. Rezultat ovoga jeste da se linearna superpozicija uzima a priori. Međutim, uvijek treba imati na umu da, koliko god se dobro slagao sa opažanjima, linearni pristup gotovo uvijek predstavlja tek prvi član u razvoju prirode u beskonačni red.

Prema linearnoj superpoziciji, suma dva rješenja je opet rješenje iste jednadžbe. U nelinearnim sistemima situacija se, pak, jako usložnjava: postupak nalaženja rješenja koje bi bilo neka vrsta „kombinacije“ dvaju polaznih rješenja je daleko složeniji od pukog zbrajanja, i često u konkretnim slučajevima kombinovano rješenje nije moguće izraziti analitički, već se može dobiti tek numeričkim proračunima. Kada se ovdje govori o kombinovanju rješenja, treba biti na oprezu: „kombinovano rješenje“ je tek matematički postupak nalaženja dodatnih rješenja na osnovu postojećih, pri čemu je moguće, kao što je to slučaj sa KdV jednadžbom, da se nelinearnom superpozicijom dva regularna (fizikalno prihvatljiva) rješenja dobije neregularno (fizikalno neprihvatljivo) rješenje, i obratno, da se kombinacijom jednog regularnog i jednog neregularnog rješenja opet dobije regularno rješenje.

Fourierova analiza, osnovni alat proučavanja linearnih valova, u nelinearnim sistemima ima samo sekundaran značaj: razlaganje vala u Fourierov spektar više ne predstavlja njegovu dekompoziciju po svojstvenim funkcijama, već nije ništa više nego sredstvo za analizu forme vala.

Zalaženjem u nelinearno, fizičar ostaje bez tog moćnog oružja koje jeste linearna superpozicija, a koje mu je u velikoj mjeri olakšavalo koračanje kroz područje linearnog omogućavajući mu zornu predodžbu problema svođenjem na vektorske vizuelizacije.