Solitoni

Svojstva solitonskog rješenja

Proanalizirajmo dobiveno rješenje:

Ono što se odmah može uočiti jesu odlike karakteristične za sve solitone:

• amplituda vala raste s brzinom
• širina vala se s brzinom smanjuje

Brži valovi su, dakle, bolje lokalizirani i imaju veću amplitudu od sporijih.

Što se tiče same KdV jednadžbe, faktor u rješenju je stvar konvencije, jer se iz gore navedenog oblika KdV jednadžbe može doći u poopćeni oblik supstitucijom , pri čemu jednadžba postaje^[4]:

,

Često se, pogodnosti radi, uzima , pa je tada solitonsko rješenje:

                  (2)

Treba primjetiti, da je, za razliku od linearnih valnih jednadžbi, gdje je faktor, odn. amplituda valne funkcije stvar početnih uvjeta ili normiranja (jer u linearnom homogenom slučaju vrijedi da, ako je  rješenje, onda je i  rješenje, za proizvoljnu konstantu ) – ovdje, zbog nelinearnosti, amplituda određena samom jednadžbom. Ovo je općenito svojstvo nelinearnih jednadžbi.

Rješenje (2) je grafički prikazano na sljedećoj slici, pri čemu apscisa predstavlja fazu , a ordinata amplitudu vala, a za brzinu je uzeta vrijednost .

Oblik ovog solitona je vrlo sličan gausijanu: gladak je, simetričan, sa izraženim maksimumom, i vrlo brzo trne.

Primjetimo da grafikon solitona s proizvoljnom brzinom  izgleda potpuno jednako – dovoljno je promijeniti skalu ordinate  uz istovremenu promjenu skale apscise .

Ukoliko si želimo predočiti kretanje ovog vala u prostoru i vremenu, dovoljno je uočiti da se prostorna tačka u kojoj je faza jednaka nuli () ravnomjerno kreće brzinom  u pozitivnom smjeru -osi. Isto vrijedi i za bilo koju drugu vrijednost faze, tako da se cijela forma vala, bez promjene oblika, ravnomjerno translatira u pozitivnom smjeru -osi brzinom .

Kretanje ovog solitona, s brzinom , prikazano je na animaciji i na 3-dimenzionalnom prostorno-vremenskom prikazu: